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第258章（第2页）

“当然，但需要使用一种基于超越几何的新坐标系，将每个物体的位置表示为超越数。”

“等等，我不太明白，这样难道不会让计算变得更复杂？”

“不会，恰好相反，这样其实允许我们更精确地描述物体之间的相互作用，特别是在物体非常接近的情况下，可以通过对其进行级数展开来近似计算相互作用力。而且不止是经典N体问题，同样可以引申到相对论性N提问题。”

听到乔泽的话，彼得·舒尔茨也忍不住站了起来，凑到了乔泽身边开始看起了他在稿纸上的演算。

“这是椭圆模型？”

“对，先预设一个三体问题，将三体系统的每个物体的位置表示为椭圆函数的解。”

说完，乔泽又在手稿上写下了三个公式。

[x_i（t）=a_icos（omega_it+phi_i），]

[y_i（t）=b_isin（omega_it+phi_i），]

[z_i（t）=c_icos（omega_it+phi_i），]

然后开口解释道：“其中（a_i，b_i，c_i）分别是椭圆的半长轴、半短轴和半高轴，（omega_i）是椭圆的角频率，（phi_i）是初始相位。”

洛特·杜根先是露出恍然的神色，随后又皱着眉头问道：“但这如何影响相互作用力的计算？”

“通过级数展开来逼近相互作用力，比如我们先考虑物体（i）和（j）之间的引力，那么定义相互作用力为……”

说话间，乔泽又在手稿上写出一串公式。

[mathbf{F}_{ij}=-Gfrac{m_im_j}{|mathbf{r}_i-mathbf{r}j|^2}hat{mathbf{r}}{ij}，]。

然后说道：“（G）是引力常数无需解释，（m_i，m_j）分别是物体（i）和（j）的质量，（hat{mathbf{r}}_{ij}=（mathbf{r}_j-mathbf{r}_i）|mathbf{r}_j-mathbf{r}_i|）是单位矢量。”

“这怎么做级数展开？超越几何学还涉及到力学的计算？”

“超越几何学中允许使用逐项逼近技术，可以用于做级数展开，具体可得……”

[frac{1}{|mathbf{r}_i-mathbf{r}j|}=sum{k=0}^{infty}frac{Psi_k}{r^{k+1}}，]

“对了，（Psi_k）就是系数。”

看着手稿上开始逐渐变得丰满的公式，彼得·舒尔茨突然感觉人有些不好了，拧着眉头说道：“不对，这样会有级数展开的截断误差，这个误差是不可控的吧？”

“有办法的，你忘了今天我讲解论文的时候是怎么解决的吗？设置一个截断参数N，仅考虑级数展开的前N项。只要N的值够大，模型在数学上趋近于精确解。

当然涉及到天体位置计算，我们并不需要那么高的精度，直接综合考虑超算的性能跟所需要的精度，来设置截断参数好了，起码比去求解高阶微分方程的计算量要少的多。”

洛特·杜根下意识的抬手比划了两下，忍不住问道：“这样迭代求解的过程中，会遇到了数值不稳定性的问题，怎么解决？”

“嗯？”

乔泽随手写下最后一笔，又仔细看了一遍自己的推导过程，这才将笔递还给了洛特·杜根，开口道：“我记得有一种自适应步长的数值积分算法，加上超越几何在解决这种复杂问题时的优越性，应该能保证在物体之间距离较小时，数值解仍然稳定。

当然你们还可以用数值稳定性分析来调整算法的参数。总之方法应该还有很多，不过让我来解决这个问题的话，肯定会选用这个思路。另外如果是要计算相对论性的N体问题，就用爱因斯坦场方程代替传统牛顿引力定律，大概思路没什么变化。”

说完，乔泽便将手稿跟笔递还给了洛特·杜根。

洛特·杜根傻傻的接过乔泽递来的手稿，看着上面的内容，脸上表情飞速变换着。

真的，研究N体问题这么多年，他头一次感觉思路如此清晰。

最重要的是，他算是体会到了乔泽在解决数学问题上的大胆。

又或者说思路有多灵活，当然也可能是因为他对超越几何学的了解更深入。

总之他给出的思路完全是颠覆性的。

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